Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^-3 / 2 d V, onde E é a região entre as esferas de raios 1 e 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O enunciado pede para integrar a função na região entre duas esferas com raios 1 e 2. Para isso, vamos usar as coordenadas esféricas e entender como transformar a integral nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é descrito por x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi (a distância da origem), dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta (o ângulo com o eixo z) e (o ângulo no plano xy). As transformações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, olhando para a função que vamos integrar, vemos que (rho^2)^-3/2 = rho^-3 . Então, a função integral triplaE rho^-3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^-1 sinphi , drho , dphi , dtheta fica:
Substituindo isso na integral e usando o elemento de volume, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão, vamos separar a integral em partes que dependem apenas de uma variável cada:
integral0^2pi dtheta integral0^pi sinphi , dphi integral1^2 rho^-1 drho
Aqui, os limites de integração são definidos pela região , que é a área entre as esferas de raio 1 e 2.

Passo 5

Vamos resolver cada integral uma de cada vez. Primeiro, a integral em integral1^2 rho^-1 drho = lnrho gr|1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2) :
Como , ficamos apenas com .

Passo 6

Em seguida, a integral em integral0^pi sinphi , dphi = -cosphi gr|0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 :

Passo 7

Por último, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das três integrais:
2pi times 2 times ln(2) = 4pi ln(2)

Resposta

A integral vale .

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