Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: , onde é a região entre as esferas de raios 1 e 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O enunciado pede para integrar a função na região entre duas esferas com raios 1 e 2. Para isso, vamos usar as coordenadas esféricas e entender como transformar a integral nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é descrito por (a distância da origem), (o ângulo com o eixo z) e (o ângulo no plano xy). As transformações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, olhando para a função que vamos integrar, vemos que . Então, a função fica:
Substituindo isso na integral e usando o elemento de volume, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão, vamos separar a integral em partes que dependem apenas de uma variável cada:
Aqui, os limites de integração são definidos pela região , que é a área entre as esferas de raio 1 e 2.
Passo 5
Vamos resolver cada integral uma de cada vez. Primeiro, a integral em :
Como , ficamos apenas com .
Passo 6
Em seguida, a integral em integral0^pi sinphi , dphi = -cosphi gr|0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 :
Passo 7
Por último, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
Passo 8
Agora, multiplicamos os resultados das três integrais: