A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio em que está inserido (a temperatura do ambiente, na maior parte dos casos). Suponha que a temperatura ambiente é 21 graus Celsius e que a taxa é de 0,05 por minuto. Escreva uma equação diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Aqui, a temperatura do ambiente é de 21°C e a taxa de resfriamento é de 0,05 por minuto. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais, que ajudam a modelar como as coisas mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- Seja
a temperatura do objeto no instante de tempo . - A temperatura do ambiente é constante e igual a 21°C, vamos chamar de
.
Passo 3
A Lei do Resfriamento de Newton diz que a taxa de mudança da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiental. Isso pode ser escrito como:
O sinal negativo indica que a temperatura do objeto está diminuindo em direção à temperatura do ambiente.
Passo 4
Substituindo os valores que temos no enunciado:
- A taxa
por minuto. -
°C.
Então, a equação fica:
Resposta
A equação diferencial que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
é:
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e dentro da esfera
.
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a região entre as esferas de raios 1 e 2
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e a população de ratos por
então a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equação
onde o fator de proporcionalidade
é chamado de taxa de crescimento. Agora, suponha que
e que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Incorpore essas informações ao modelo e escreva uma equação diferencial que descreva o crescimento populacional.
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