Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido fora do cone
e dentro da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve coordenadas esféricas. A ideia é encontrar o volume da região que está fora do cone dado por
e dentro da esfera definida por
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como configurar uma integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três números:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
) e
(o ângulo entre o vetor
e o eixo
).
Passo 3
O próximo passo é entender as regiões que estamos lidando. O cone
define uma região onde o ângulo
é constante. Queremos o volume fora desse cone, ou seja, onde
é maior que
.
Passo 4
A esfera
nos dá o limite superior para
. Isso significa que, para cada ângulo
, o valor de
vai de 0 até
.
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para
,
e
. Como o problema não especifica restrições para
, ele varia de 0 a
. Para
, já sabemos que estamos fora do cone
, então
vai de
até
(já que
é positiva até
). E para
, como mencionamos, vai de 0 a
.
Passo 6
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Podemos simplificar retirando a constante:
Passo 9
Vamos resolver a integral em
. Fazemos substituição:
Seja , então
. Alterando os limites:
Quando ,
.
Quando ,
.
Seja
Quando
Quando
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, voltamos à integral original:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.
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, onde
é a região entre as esferas de raios 1 e 2
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e pelo hemisfério
.
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.
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e a população de ratos por
então a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equação
onde o fator de proporcionalidade
é chamado de taxa de crescimento. Agora, suponha que
e que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Incorpore essas informações ao modelo e escreva uma equação diferencial que descreva o crescimento populacional.