Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido fora do cone phi = pi / 4 e dentro da esfera rho = 4 cos(phi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve coordenadas esféricas. A ideia é encontrar o volume da região que está fora do cone dado por e dentro da esfera definida por . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como configurar uma integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três números: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano a partir do eixo ) e (o ângulo entre o vetor e o eixo ).

Passo 3

O próximo passo é entender as regiões que estamos lidando. O cone define uma região onde o ângulo é constante. Queremos o volume fora desse cone, ou seja, onde é maior que .

Passo 4

A esfera nos dá o limite superior para . Isso significa que, para cada ângulo , o valor de vai de 0 até .

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Como o problema não especifica restrições para , ele varia de 0 a . Para , já sabemos que estamos fora do cone , então vai de até (já que é positiva até ). E para , como mencionamos, vai de 0 a .

Passo 6

A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Podemos simplificar retirando a constante:

Passo 9

Vamos resolver a integral em . Fazemos substituição:
Seja , então . Alterando os limites:
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, voltamos à integral original:

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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