Calcule as integrais usando integração por partes.
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Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral
usando o método de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Aqui, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos diferenciar e outra que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
A ideia é escolher
e
de forma que a integral se torne mais fácil de resolver depois de aplicar a fórmula.
Passo 3
Vamos escolher
. A razão dessa escolha é que ao derivar
, diminuímos o grau do polinômio, o que simplifica a expressão. Então temos:
Passo 4
Agora, precisamos definir
. O que sobra na nossa integral é
, então:
Para encontrar
, vamos integrar
:
Fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Como estamos fazendo uma integral indefinida dentro da integração por partes, podemos ignorar a constante
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
A integral que restou é
, que já resolvemos anteriormente e sabemos que é
.
Passo 7
Substituindo de volta:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral calculada é: