Calcule as integrais usando integração por partes.
(d) integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral usando o método de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Aqui, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos diferenciar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher e de forma que a integral se torne mais fácil de resolver depois de aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos escolher u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx . A razão dessa escolha é que ao derivar , diminuímos o grau do polinômio, o que simplifica a expressão. Então temos:

Passo 4

Agora, precisamos definir dv = x cdot e^x^2 , dx . O que sobra na nossa integral é v = integral x cdot e^x^2 , dx , então:
v = integral e^w cdot dw2 = 12 e^w + C = 12 e^x^2 + C
Para encontrar , vamos integrar :
Fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, . Assim:
Como estamos fazendo uma integral indefinida dentro da integração por partes, podemos ignorar a constante .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 e^x^2 , dx = x^2 cdot ( 12 e^x^2 ) - integral ( 12 e^x^2 ) cdot 2x , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= 12 x^2 e^x^2 - integral e^x^2 cdot x , dx
A integral que restou é , que já resolvemos anteriormente e sabemos que é .

Passo 7

Substituindo de volta:
= 12 x^2 e^x^2 - 12 e^x^2 + C
Podemos fatorar = 12 e^x^2 (x^2 - 1) + C :

Resposta

A integral calculada é:
integral x^3 e^x^2 , dx = 12 e^x^2 (x^2 - 1) + C

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