Calcule a integral.
(q) integral sec ^3 x tan x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de substituição e propriedades das integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Olha só, temos integral sec^3 x tan x , dx = integral sec^2 x cdot sec x tan x , dx . Vamos separar isso como .
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar du = sec x tan x , dx . Então, precisamos encontrar :
Percebe que está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sec^2 x cdot sec x tan x , dx = integral sec^2 x cdot du
Mas sabemos que integral u^2 , du porque . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, basta integrar integral u^2 , du = u^33 + C em relação a . A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^33 + C = sec^3 x3 + C de volta para termos em função de . Lembrando que , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados