Calcule.
(a) integral0^1[x^2 e^x^3-x^3 ln x] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de a da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, como substituição e integração por partes. Vamos quebrar isso em partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^1 [ x^2 e^x^3 - x^3 ln x ] dx = integral0^1 x^2 e^x^3 dx - integral0^1 x^3 ln x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: dudx = 3x^2 Rightarrow x^2 dx = du3 .
Aqui, usamos a substituição. Vamos escolher integral x^2 e^x^3 dx = 13 integral e^u du = 13 e^u + C = 13 e^x^3 + C . Então, a derivada de 13 e^x^3 |0^1 = 13 ( e^1 - e^0 ) = 13 (e - 1) em relação a é:
Substituindo na integral:
Agora, aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral u , dv = uv - integral v , du .
Para isso, usamos a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
Escolhemos:
dv = x^3 dx Rightarrow v = x^44
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - integral x^44 cdot 1x dx = x^44 ln x - 14 integral x^3 dx
Aplicando a fórmula:
14 integral x^3 dx = 14 cdot x^44 = x^416
Calculando a integral restante:
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - x^416 + C
Então, temos:
1^44 ln 1 - 1^416 = 0 - 116 = -116
Agora, aplicando os limites de ( x^44 ln x - x^416 ) |0^1 = -116 a :
Para :
Para , o termo tende a porque tende a mais rápido que tende a . Portanto:

Resposta

Juntando as duas partes:
integral0^1 [ x^2 e^x^3 - x^3 ln x ] dx = 13 (e - 1) - ( -116 ) = 13 (e - 1) + 116
Se preferir, podemos expressar isso como uma fração única:
16(e - 1) + 348 = 16e - 16 + 348 = 16e - 1348
Portanto, o valor da integral é:
boxed 16e - 1348

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