Calcule as integrais usando integração por partes.
(f) integral arctg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A gente vai precisar lembrar da fórmula de integração por partes e escolher bem quais partes da função vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos porque sua derivada vai simplificar a integral, e porque é fácil de integrar para achar .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx arctan(x) , dx = 11 + x^2 , dx e integrar v = integral dv = integral dx = x :
Então, temos , , e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctan(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x cdot arctan(x) - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1t , dt = 12 ln|t| + C = 12 ln(1 + x^2) + C . Fazendo uma substituição simples, deixamos integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C , então ou . A integral fica:
Agora, substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

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