Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de p. integral0^1 1x^p ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para os quais a integral converge e, para esses valores de , calcular o valor da integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre o comportamento de funções próximas aos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função nos limites de integração, ou seja, quando se aproxima de 0 e de 1. Isso é importante para saber se a integral vai dar certo ou não (ou seja, se ela converge).

Passo 3

Vamos analisar o limite quando 1x^p ln(x) approx 1x^p (-infty) approx 0 se aproxima de 0. Sabemos que tende a quando vai para 0. Então, temos que:
Mas precisamos verificar isso de forma mais precisa. Para isso, fazemos uma substituição que simplifica a integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição integral0^1 1x^p ln(x) , dx = integralinfty^0 1e^-p t (-t) (-e^-t) dt = integral0^infty e^-te^-p t t dt = integral0^infty e^(p-1)tt dt . Então, e . Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos a integral:
integral0^infty e^(p-1)tt dt
Essa integral converge se o expoente de for negativo, ou seja, se , o que significa que . Portanto, a integral converge para .

Passo 6

Para calcular a integral quando integral e^att dt = Ei(at) + C , podemos reconhecer a forma da integral como a função exponencial integral integral0^infty e^(p-1)tt dt = -ln(1 - p) . Porém, para simplificar, vamos resolver a integral usando um limite.
Sabemos que:
Mas para com , a integral definida de 0 a converge e resulta em:

Passo 7

Portanto, concluímos que a integral -ln(1 - p) converge para valores de menores que 1 e seu valor é dado por:

Resposta

A integral converge para todo e seu valor é .

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