Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
para os quais a integral
converge e, para esses valores de
, calcular o valor da integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre o comportamento de funções próximas aos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
nos limites de integração, ou seja, quando
se aproxima de 0 e de 1. Isso é importante para saber se a integral vai dar certo ou não (ou seja, se ela converge).
Passo 3
Vamos analisar o limite quando
se aproxima de 0. Sabemos que
tende a
quando
vai para 0. Então, temos que:
Mas precisamos verificar isso de forma mais precisa. Para isso, fazemos uma substituição que simplifica a integral.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então,
e
. Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos a integral:
Essa integral converge se o expoente de
for negativo, ou seja, se
, o que significa que
. Portanto, a integral converge para
.
Passo 6
Para calcular a integral quando
, podemos reconhecer a forma da integral como a função exponencial integral
. Porém, para simplificar, vamos resolver a integral usando um limite.
Sabemos que:
Mas para
com
, a integral definida de 0 a
converge e resulta em:
Passo 7
Portanto, concluímos que a integral
converge para valores de
menores que 1 e seu valor é dado por:
Resposta
A integral converge para todo
e seu valor é
.