Calcule as integrais usando integração por partes com a escolha de u e d v indicada: integral e^-5 t t d t, u=t, d v=e^-5 t d t

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a , ou seja, . Vamos usar o método de integração por partes, onde já nos deram as escolhas: e . Vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e aplicar essas escolhas para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, já sabemos que du = ddt(t) , dt = 1 , dt . Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora, temos v = integral e^-5 t , dt . Para achar v = -15 e^-5 t , vamos integrar :
A integral de é:

Passo 4

Agora que temos integral t cdot e^-5 t , dt = u cdot v - integral v , du , = t cdot ( -15 e^-5 t ) - integral ( -15 e^-5 t ) cdot 1 , dt , e , vamos substituir na fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -15 t e^-5 t + 15 integral e^-5 t , dt
Já sabemos que a integral de = -15 t e^-5 t + 15 ( -15 e^-5 t ) + C é , então:

Passo 6

Simplificando ainda mais:
= -15 t e^-5 t - 125 e^-5 t + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral t cdot e^-5 t , dt = -15 t e^-5 t - 125 e^-5 t + C

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