Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o tema de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para usar essa técnica, precisamos identificar qual parte da função vamos chamar de
e qual parte vamos chamar de
. A ideia é escolher
como a parte que fica mais simples quando derivada e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
:
- Escolha de
: Vamos deixar . Isso porque ao derivar , fica só 1, o que simplifica as coisas. - Escolha de
: Então, . Isso porque a integral de é fácil de calcular.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivada de
: (derivando em relação a ). - Integral de
: Para encontrar , integramos : (Lembre que a integral de é .)
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituímos os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular a integral restante
.
Passo 6
Calculando
:
(Usamos que a integral de
é
.)
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.