Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o tema de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para usar essa técnica, precisamos identificar qual parte da função vamos chamar de e qual parte vamos chamar de . A ideia é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e :
  • Escolha de : Vamos deixar . Isso porque ao derivar , fica só 1, o que simplifica as coisas.
  • Escolha de : Então, . Isso porque a integral de é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivada de : (derivando em relação a ).
  • Integral de : Para encontrar , integramos : (Lembre que a integral de é .)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituímos os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular a integral restante .

Passo 6

Calculando :
(Usamos que a integral de é .)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :
Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
e