Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral x cos 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x cos 5x , dx. Esse exercício envolve o tema de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para usar essa técnica, precisamos identificar qual parte da função vamos chamar de u e qual parte vamos chamar de dv. A ideia é escolher u como a parte que fica mais simples quando derivada e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv:
  • Escolha de u: Vamos deixar u = x. Isso porque ao derivar x, fica só 1, o que simplifica as coisas.
  • Escolha de dv: Então, dv = cos 5x , dx. Isso porque a integral de cos 5x é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivada de u: du = dx (derivando x em relação a x).
  • Integral de dv: Para encontrar v, integramos dv: v = integral cos 5x , dx = 15 sin 5x (Lembre que a integral de cos kx é 1k sin kx.)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituímos os valores que encontramos:
integral x cos 5x , dx = x cdot ( 15 sin 5x ) - integral ( 15 sin 5x ) dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= x5 sin 5x - 15 integral sin 5x , dx
Agora, vamos calcular a integral restante integral sin 5x , dx.

Passo 6

Calculando integral sin 5x , dx:
integral sin 5x , dx = -15 cos 5x
(Usamos que a integral de sin kx é -1k cos kx.)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
x5 sin 5x - 15 ( -15 cos 5x )
Simplificando:
= x5 sin 5x + 125 cos 5x

Resposta

A integral integral x cos 5x , dx é igual a:
x5 sin 5x + 125 cos 5x + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados