Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função , com o plano no ponto de abcissa .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à curva que resulta da interseção do gráfico da função com o plano no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e a equação da reta tangente. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como aplicar a condição de tangência.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção. Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na função para encontrar :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a curva de interseção dessas superfícies. Como , substituímos na função :
Então, a curva de interseção é .
Passo 4
Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , precisamos calcular a derivada de em relação a :
A derivada é:
Passo 5
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 6
Agora, usamos a equação da reta tangente que passa pelo ponto na forma :
Resposta
A reta tangente à curva de interseção no ponto dado é: