Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função f(x, y) = raiz((x^2 / 9) + (y^2 / 4) - 1), com o plano y = 4 no ponto de abcissa x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à curva que resulta da interseção do gráfico da função com o plano no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e a equação da reta tangente. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como aplicar a condição de tangência.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção. Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na função para encontrar :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a curva de interseção dessas superfícies. Como , substituímos na função :
Então, a curva de interseção é .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , precisamos calcular a derivada de em relação a :
A derivada é:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, usamos a equação da reta tangente que passa pelo ponto na forma :

Resposta

A reta tangente à curva de interseção no ponto dado é:

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