Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui: temos que calcular a integral . Para isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Essa técnica é útil quando estamos integrando o produto de duas funções. Basicamente, a gente precisa escolher duas partes dessas funções para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo na integração por partes é escolher quais partes da função vão ser e . A escolha certa facilita muito nossa vida. A gente costuma escolher como a parte que vai simplificar quando derivada e como a que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
  • (porque derivar dá 1, o que simplifica)
  • (porque integrar é simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar .
Derivando :
Integrando :
Então, temos:

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo o que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
A integral que sobra é:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é:

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e
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :