Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral r e^r / 2 d r

Passo 1

Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui: temos que calcular a integral integral r e^r / 2 dr. Para isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Essa técnica é útil quando estamos integrando o produto de duas funções. Basicamente, a gente precisa escolher duas partes dessas funções para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo na integração por partes é escolher quais partes da função vão ser u e dv. A escolha certa facilita muito nossa vida. A gente costuma escolher u como a parte que vai simplificar quando derivada e dv como a que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
  • u = r (porque derivar r dá 1, o que simplifica)
  • dv = e^r / 2 dr (porque integrar e^r / 2 é simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v.
Derivando u:
du = dr
Integrando dv:
v = integral e^r / 2 dr = 2 e^r / 2
Então, temos:
  • du = dr
  • v = 2 e^r / 2

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo o que encontramos:
integral r e^r / 2 dr = r cdot 2 e^r / 2 - integral 2 e^r / 2 cdot dr

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
integral r e^r / 2 dr = 2 r e^r / 2 - 2 integral e^r / 2 dr
A integral que sobra é:
integral e^r / 2 dr = 2 e^r / 2
Então, substituindo de volta:
integral r e^r / 2 dr = 2 r e^r / 2 - 2 cdot 2 e^r / 2 + C

Resposta

A integral é:
integral r e^r / 2 dr = 2 r e^r / 2 - 4 e^r / 2 + C

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