Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Passo 1
Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui: temos que calcular a integral
. Para isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Essa técnica é útil quando estamos integrando o produto de duas funções. Basicamente, a gente precisa escolher duas partes dessas funções para facilitar a integração.
Passo 2
O primeiro passo na integração por partes é escolher quais partes da função vão ser
e
. A escolha certa facilita muito nossa vida. A gente costuma escolher
como a parte que vai simplificar quando derivada e
como a que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
-
(porque derivar dá 1, o que simplifica) -
(porque integrar é simples)
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
.
Derivando
:
Integrando
:
Então, temos:
Passo 4
Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo o que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
A integral que sobra é:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral é:
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Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função
, com o plano
no ponto de abcissa
.
Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e a
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
: