Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes dependendo da distância
do ponto
até a origem. O que precisamos fazer é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e entender como a definição da função muda com base em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se, intuitivamente, podemos desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando nos aproximamos do ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
onde
é a distância do ponto
até a origem.
Passo 4
Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função:
-
Para
:
A função é. Aqui, é negativo porque . A função está bem definida para todos os , exceto quando , mas isso não ocorre dentro desse intervalo. -
Para
:
A função é simplesmente, que é uma função constante e, portanto, contínua em todo o seu domínio.
Passo 5
O ponto crítico para verificar a continuidade é onde a definição da função muda, ou seja, em
. Precisamos ver se a função é contínua nesse ponto.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Como
,
tende a 0 e é negativo, então o limite tende a
.
Agora, o valor da função em
é 0. Como o limite quando
é
e o valor da função é 0, eles não coincidem. Isso significa que há uma descontinuidade em
.
Passo 6
Portanto, a função
é contínua em todos os pontos onde
, ou seja, em todo o plano menos o círculo de raio 1 centrado na origem.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
é
. Em outras palavras,
é contínua em todo o plano exceto sobre o círculo de raio 1.
Exercícios relacionados
Determine o campo vetorial gradiente
da função
.
Prove (usando a definição):
Dados e
tem-se:
Dados
Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função
, com o plano
no ponto de abcissa
.
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
: