Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo da distância do ponto até a origem. O que precisamos fazer é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e entender como a definição da função muda com base em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se, intuitivamente, podemos desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando nos aproximamos do ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
onde é a distância do ponto até a origem.

Passo 4

Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função:
  1. Para :
    A função é . Aqui, é negativo porque . A função está bem definida para todos os , exceto quando , mas isso não ocorre dentro desse intervalo.
  2. Para :
    A função é simplesmente , que é uma função constante e, portanto, contínua em todo o seu domínio.

Passo 5

O ponto crítico para verificar a continuidade é onde a definição da função muda, ou seja, em . Precisamos ver se a função é contínua nesse ponto.
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Como , tende a 0 e é negativo, então o limite tende a .
Agora, o valor da função em é 0. Como o limite quando é e o valor da função é 0, eles não coincidem. Isso significa que há uma descontinuidade em .

Passo 6

Portanto, a função é contínua em todos os pontos onde , ou seja, em todo o plano menos o círculo de raio 1 centrado na origem.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de é . Em outras palavras, é contínua em todo o plano exceto sobre o círculo de raio 1.

Exercícios relacionados

Determine o campo vetorial gradiente da função .
Prove (usando a definição):
Dados e tem-se:
Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função , com o plano no ponto de abcissa .
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :