Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
v(t) = 7 t^2 - t e x(0) = 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo . A gente tem a função da velocidade e sabe que a posição inicial . O que precisamos fazer é encontrar a função posição . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar , precisamos integrar a função velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos fazer a integral de :
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a função posição da partícula é:

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