Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está envolvendo técnicas de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. Para isso, a gente precisa escolher bem quais partes vão ser e . Vamos precisar lembrar que a fórmula de integração por partes é:

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que , então:
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes na integral . Precisamos escolher e . Uma boa escolha é:
Isso porque a derivada de é simples, e a integral de também é fácil de calcular.

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que escolhemos:

Passo 6

Simplificando a integral que ficou:
Então, a expressão agora é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que tínhamos um fator lá no começo, vamos multiplicar:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
e
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :