Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral ln raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral u , dv = u , v - integral v , du . Esse exercício está envolvendo técnicas de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. Para isso, a gente precisa escolher bem quais partes vão ser e . Vamos precisar lembrar que a fórmula de integração por partes é:

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln raiz[3]x = ln x^1/3 = 13 ln x , então:
integral ln raiz[3]x , dx = integral 13 ln x , dx = 13 integral ln x , dx
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes na integral u = ln x e dv = dx . Precisamos escolher e . Uma boa escolha é:
Isso porque a derivada de é simples, e a integral de também é fácil de calcular.

Passo 4

Vamos encontrar du = 1x dx (derivada de ln x ) e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que escolhemos:
integral ln x , dx = ln x cdot x - integral x cdot 1x dx

Passo 6

Simplificando a integral que ficou:
integral x cdot 1x dx = integral 1 , dx = x
Então, a expressão agora é:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que tínhamos um fator 13 integral ln x , dx = 13 (x ln x - x) + C = x ln x3 - x3 + C lá no começo, vamos multiplicar:

Resposta

A integral x ln x3 - x3 + C é igual a:

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