Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
, usando integração por partes. Isso envolve escolher duas partes da função para simplificar a integral. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração por partes e como aplicar a fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a ideia é escolher
e
de forma que a integral
seja mais simples de resolver do que a original.
Passo 3
Vamos escolher:
-
: porque quando derivamos essa parte, simplifica. -
: é mais fácil integrar isso.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
e
:
- Para
, derivamos :
- Para
, integramos :
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Vamos simplificar a integral restante:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
(Note que podemos ignorar o valor absoluto porque o denominador é sempre positivo.)
Passo 8
Voltando à expressão original:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: