Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral arctan (4 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de arctan(4t) em relação a t, usando integração por partes. Isso envolve escolher duas partes da função para simplificar a integral. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração por partes e como aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher u e dv de forma que a integral v , du seja mais simples de resolver do que a original.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = arctan(4t): porque quando derivamos essa parte, simplifica.
  • dv = dt: é mais fácil integrar isso.

Passo 4

Agora, precisamos calcular du e v:
  • Para du, derivamos u:
du = ddt arctan(4t) , dt = 41 + (4t)^2 , dt = 41 + 16t^2 , dt
  • Para v, integramos dv:
v = integral dv = integral dt = t

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arctan(4t) , dt = u , v - integral v , du = arctan(4t) cdot t - integral t cdot 41 + 16t^2 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
integral t cdot 41 + 16t^2 , dt = 4 integral t1 + 16t^2 , dt
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe w = 1 + 16t^2, então dw = 32t , dt, ou seja, t , dt = dw32.

Passo 7

Substituindo na integral:
4 integral t1 + 16t^2 , dt = 4 cdot 132 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16t^2) + C
(Note que podemos ignorar o valor absoluto porque o denominador é sempre positivo.)

Passo 8

Voltando à expressão original:
integral arctan(4t) , dt = t cdot arctan(4t) - 18 ln(1 + 16t^2) + C

Resposta

Portanto, a integral de arctan(4t) em relação a t é:
integral arctan(4t) , dt = t cdot arctan(4t) - 18 ln(1 + 16t^2) + C

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