Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que a gente usa quando a integral é um produto de duas funções, e a gente precisa escolher quais partes vão ser
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
. Olhando para a integral
, a gente pode reescrever isso como
. Vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos calcular
derivando
:
E para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
A gente ainda precisa resolver a integral
. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, temos
, então:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral
é uma integral que não tem uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a gente reconhece que essa expressão precisa ser deixada em termos de funções especiais ou representa a solução em termos de integrais indefinidas. Mas para o propósito do exercício, podemos deixar a resposta da seguinte forma:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
e
é a constante de integração.
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(a)
(b)
(a)
(b)
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