Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral x e^2 x1+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que a gente usa quando a integral é um produto de duas funções, e a gente precisa escolher quais partes vão ser e para facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x1+2x e dv = e^2x , dx . Olhando para a integral , a gente pode reescrever isso como . Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u = x1+2x Rightarrow du = (1)(1+2x) - x(2)(1+2x)^2 , dx = 1 + 2x - 2x(1+2x)^2 , dx = 1(1+2x)^2 , dx e dv = e^2x , dx Rightarrow v = e^2x2 . Vamos calcular derivando :
E para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^2x1+2x , dx = x1+2x cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 1(1+2x)^2 , dx
Simplificando:
= x e^2x2(1+2x) - 12 integral e^2x(1+2x)^2 , dx

Passo 5

A gente ainda precisa resolver a integral w = 1 + 2x Rightarrow dw = 2 , dx Rightarrow dx = dw2 . Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
integral e^2xw^2 cdot dw2
Substituindo na integral:
e^2x = e^2 cdot w - 12 = e^w - 1 = e^-1 cdot e^w
Mas precisamos expressar e^-12 integral e^ww^2 , dw em termos de . Como , temos , então:
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma integral que não tem uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a gente reconhece que essa expressão precisa ser deixada em termos de funções especiais ou representa a solução em termos de integrais indefinidas. Mas para o propósito do exercício, podemos deixar a resposta da seguinte forma:

Resposta

A integral x e^2x2(1+2x) - e^-12 integral e^ww^2 , dw + C é igual a:
Onde e é a constante de integração.

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