Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que a gente usa quando a integral é um produto de duas funções, e a gente precisa escolher quais partes vão ser e para facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Olhando para a integral , a gente pode reescrever isso como . Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Vamos calcular derivando :
E para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

A gente ainda precisa resolver a integral . Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Mas precisamos expressar em termos de . Como , temos , então:
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma integral que não tem uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a gente reconhece que essa expressão precisa ser deixada em termos de funções especiais ou representa a solução em termos de integrais indefinidas. Mas para o propósito do exercício, podemos deixar a resposta da seguinte forma:

Resposta

A integral é igual a:
Onde e é a constante de integração.

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(a)
(b)
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