Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral 1x^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral 1x^2 raiz4-x^2 dx usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos transformar a integral usando funções trigonométricas para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e saber como aplicá-las em integrais.

Passo 2

Observando a expressão dentro da raiz quadrada, raiz4 - x^2, uma substituição trigonométrica comum é x = 2 sin theta. Essa escolha é útil porque, usando a identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1, a raiz quadrada vai simplificar de forma conveniente.

Passo 3

Com a substituição x = 2 sin theta, precisamos encontrar dx. Diferenciando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral 1(2 sin theta)^2 raiz4 - (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral 14 sin^2 theta cdot raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta
= integral 14 sin^2 theta cdot 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta

Passo 6

Cancelamos os termos semelhantes:
= integral 14 sin^2 theta , dtheta

Passo 7

Podemos simplificar a constante:
= 14 integral csc^2 theta , dtheta
Aqui, usamos que csc theta = 1sin theta.

Passo 8

A integral de csc^2 theta é uma integral básica:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 2 sin theta, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O lado oposto ao ângulo theta é x = 2 sin theta
  • A hipotenusa é 2
  • O lado adjacente é raiz4 - x^2 = 2 cos theta
Nesse triângulo, cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2x.

Resposta

Assim, a integral calculada fica:
integral 1x^2 raiz4-x^2 dx = -14 cdot raiz4 - x^2x + C

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