Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos transformar a integral usando funções trigonométricas para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e saber como aplicá-las em integrais.
Passo 2
Observando a expressão dentro da raiz quadrada,
, uma substituição trigonométrica comum é
. Essa escolha é útil porque, usando a identidade trigonométrica
, a raiz quadrada vai simplificar de forma conveniente.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Cancelamos os termos semelhantes:
Passo 7
Podemos simplificar a constante:
Aqui, usamos que
Passo 8
A integral de
é uma integral básica:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
- O lado oposto ao ângulo
é - A hipotenusa é
- O lado adjacente é
Nesse triângulo,
.
Resposta
Assim, a integral calculada fica:
Exercícios relacionados
Usando calculadora e a técnica de arredondamento para duas casas decimais ao fim de cada operação, mostre que as regras tradicionais não são mais válidas nestes exemplos:
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Converta os números para a base 10 .