Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos transformar a integral usando funções trigonométricas para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e saber como aplicá-las em integrais.

Passo 2

Observando a expressão dentro da raiz quadrada, , uma substituição trigonométrica comum é . Essa escolha é útil porque, usando a identidade trigonométrica , a raiz quadrada vai simplificar de forma conveniente.

Passo 3

Com a substituição , precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 6

Cancelamos os termos semelhantes:

Passo 7

Podemos simplificar a constante:

Aqui, usamos que .

Passo 8

A integral de é uma integral básica:

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O lado oposto ao ângulo é
  • A hipotenusa é
  • O lado adjacente é
Nesse triângulo, .

Resposta

Assim, a integral calculada fica:

Exercícios relacionados

Usando calculadora e a técnica de arredondamento para duas casas decimais ao fim de cada operação, mostre que as regras tradicionais não são mais válidas nestes exemplos:
(a)
(b)
Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :
Converta os números para a base 10 .