Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar escolher apropriadamente as funções e que vamos usar na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma regra prática é escolher como a parte que se simplifica quando derivamos, e como o que é fácil de integrar.
No nosso caso, temos . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular usando integração por partes mais uma vez. Escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo o 6:

Passo 6

Podemos fatorar para simplificar a expressão:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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