Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral z^3 e^z d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral z^3 e^z , dz usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar escolher apropriadamente as funções u e dv que vamos usar na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Uma regra prática é escolher u como a parte que se simplifica quando derivamos, e dv como o que é fácil de integrar.
No nosso caso, temos z^3 e^z. Vamos escolher:
u = z^3 e dv = e^z , dz
Agora, vamos calcular du e v.

Passo 3

Calculando du:
du = ddz(z^3) , dz = 3 z^2 , dz
Calculando v:
v = integral e^z , dz = e^z
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral z^3 e^z , dz = u cdot v - integral v , du = z^3 e^z - integral e^z cdot 3 z^2 , dz
Simplificando:
= z^3 e^z - 3 integral z^2 e^z , dz

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral z^2 e^z , dz. Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
u = z^2 e dv = e^z , dz
Calculando du e v:
du = 2 z , dz
v = e^z
Aplicando a fórmula:
integral z^2 e^z , dz = z^2 e^z - integral e^z cdot 2 z , dz = z^2 e^z - 2 integral z e^z , dz
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral z^3 e^z , dz = z^3 e^z - 3 ( z^2 e^z - 2 integral z e^z , dz )
Simplificando:
= z^3 e^z - 3 z^2 e^z + 6 integral z e^z , dz

Passo 5

Agora, vamos calcular integral z e^z , dz usando integração por partes mais uma vez. Escolhemos:
u = z e dv = e^z , dz
Calculando du e v:
du = dz
v = e^z
Aplicando a fórmula:
integral z e^z , dz = z e^z - integral e^z , dz = z e^z - e^z
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral z^3 e^z , dz = z^3 e^z - 3 z^2 e^z + 6 ( z e^z - e^z )
Distribuindo o 6:
= z^3 e^z - 3 z^2 e^z + 6 z e^z - 6 e^z

Passo 6

Podemos fatorar e^z para simplificar a expressão:
= e^z ( z^3 - 3 z^2 + 6 z - 6 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral z^3 e^z , dz é igual a:
e^z ( z^3 - 3 z^2 + 6 z - 6 ) + C
onde C é a constante de integração.

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