Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar escolher apropriadamente as funções
e
que vamos usar na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Uma regra prática é escolher
como a parte que se simplifica quando derivamos, e
como o que é fácil de integrar.
No nosso caso, temos
. Vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando integração por partes mais uma vez. Escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo o 6:
Passo 6
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.