Calcule as integrais usando a regra da substituição

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: usando a regra da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, simplificando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, ao substituir, facilite a resolução. Vamos escolher . Isso porque a raiz quadrada de está presente e sua derivada também aparece na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial . Derivando , temos . Isso nos ajuda a substituir na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de . Sabemos que , e . Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos substituir os limites de integração e :
Para :
Para :

Passo 8

Vamos calcular a diferença:
Agora, vamos encontrar um denominador comum para somar:

Resposta

O valor da integral é .

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