Calcule as integrais usando a regra da substituição
integral0^3 x raiz1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: usando a regra da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, simplificando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, ao substituir, facilite a resolução. Vamos escolher . Isso porque a raiz quadrada de está presente e sua derivada também aparece na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial . Derivando , temos . Isso nos ajuda a substituir na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral0^3 x raiz1+x , dx = integralu=1^u=4 (u - 1) raizu , du . Sabemos que , e . Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(u - 1) raizu = u cdot u^1/2 - 1 cdot u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
integral1^4 ( u^3/2 - u^1/2 ) du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Portanto, a integral se torna:
25 u^5/2 - 23 u^3/2 gr|1^4

Passo 7

Agora, vamos substituir os limites de integração 25 (4)^5/2 - 23 (4)^3/2 = 25 cdot 32 - 23 cdot 8 = 645 - 163 e 25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 = 25 cdot 1 - 23 cdot 1 = 25 - 23 :
Para :
Para :

Passo 8

Vamos calcular a diferença:
( 645 - 163 ) - ( 25 - 23 ) = 645 - 163 - 25 + 23 = ( 64 - 25 ) + ( -16 + 23 ) = 625 - 143
Agora, vamos encontrar um denominador comum para somar:
625 = 18615, 143 = 7015
18615 - 7015 = 11615

Resposta

O valor da integral é .

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