calcule integral sec x d x utilizando a abordagem de Isaac Barrow: escreva sec x como 1 / cos x, multiplique e divida por cos x, faça uma mudança de variável e decomponha o resultado usando frações parciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões trigonométricas, fazer substituições e decompor frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever integral sec x , dx = integral 1cos x , dx como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos multiplicar e dividir por integral 1cos x , dx = integral 1cos x cdot cos xcos x , dx = integral cos xcos^2 x , dx :

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
cos xcos^2 x = 1cos x = sec x
Parece que voltamos ao ponto inicial, então precisamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição. Seja du = cos x , dx Rightarrow dx = ducos x . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral original:
integral 1cos x , dx = integral 1cos x cdot ducos x = integral ducos^2 x
Mas sabemos que integral du1 - u^2 , então:

Passo 7

Agora, vamos decompor a fração usando frações parciais. Temos:
11 - u^2 = 1(1 - u)(1 + u) = A1 - u + B1 + u
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(1 + u) + B(1 - u) :

Passo 8

Para encontrar 1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12 e 1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) Rightarrow 1 = 2B Rightarrow B = 12 , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 9

Então, a decomposição fica:
11 - u^2 = 1/21 - u + 1/21 + u
Agora, podemos integrar termo a termo:
integral du1 - u^2 = 12 integral 11 - u , du + 12 integral 11 + u , du

Passo 10

Integrando:
12 integral 11 - u , du = -12 ln|1 - u|
12 integral 11 + u , du = 12 ln|1 + u|
Então, a integral fica:
-12 ln|1 - u| + 12 ln|1 + u| + C

Passo 11

Lembrando que -12 ln|1 - sin x| + 12 ln|1 + sin x| + C , substituímos de volta:
12 ln|1 + sin x1 - sin x| + C
Podemos combinar os logaritmos:

Resposta

integral sec x , dx = 12 ln|1 + sin x1 - sin x| + C

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