calcule
utilizando a abordagem de Isaac Barrow: escreva
, multiplique e divida por
, faça uma mudança de variável e decomponha o resultado usando frações parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões trigonométricas, fazer substituições e decompor frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
como
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos multiplicar e dividir por
:
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Parece que voltamos ao ponto inicial, então precisamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo na integral original:
Mas sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos decompor a fração usando frações parciais. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Passo 9
Então, a decomposição fica:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 10
Integrando:
Então, a integral fica:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos combinar os logaritmos: