Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade v(t) em metros por segundo. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
v(t) = cos(t), 1 <= t <= 3 pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta e sua velocidade é dada por metros por segundo, no intervalo de tempo de até . Precisamos encontrar duas coisas: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida nesse período. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular essas quantidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. O deslocamento é a mudança de posição da partícula, ou seja, é a diferença entre a posição final e a inicial. Matematicamente, o deslocamento pode ser encontrado integrando a velocidade em relação ao tempo no intervalo dado:

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é . Então:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos para a distância total percorrida. Diferente do deslocamento, a distância total considera o trajeto completo, independentemente da direção. Para calcular isso, precisamos integrar o valor absoluto da velocidade:
â

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos identificar onde é positivo ou negativo no intervalo de a . Sabemos que:
  • é positivo quando está entre e
  • é negativo quando está entre e
Como nosso intervalo começa em (que é menor que ), é positivo de até , e negativo de até .
Então, a distância total será:
â

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 7

Somando as duas partes, temos a distância total percorrida:
â

Resposta

(i) O deslocamento é aproximadamente metros.
(ii) A distância total percorrida é aproximadamente metros.

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