Calcule as integrais usando a regra da substituição
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 1 a 2. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a regra da substituição (ou método de troca de variável). Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, o que vai facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral
, percebemos que o expoente
é uma boa candidata para substituição, pois sua derivada também aparece na expressão.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Assim:
Perceba que a expressão
está presente na nossa integral original, o que facilita a substituição.
Passo 4
Vamos reorganizar a expressão para substituir na integral:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Integrando agora em termos de
:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.
Passo 6
Antes de substituir, precisamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites na integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Calcule as integrais usando a regra da substituição
calcule
utilizando a abordagem de Isaac Barrow: escreva
, multiplique e divida por
, faça uma mudança de variável e decomponha o resultado usando frações parciais