Calcule as integrais usando a regra da substituição

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 a 2. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a regra da substituição (ou método de troca de variável). Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, o que vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral , percebemos que o expoente é uma boa candidata para substituição, pois sua derivada também aparece na expressão.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Assim:
Perceba que a expressão está presente na nossa integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão para substituir na integral:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Integrando agora em termos de :
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Antes de substituir, precisamos mudar os limites de integração de para . Quando :
E quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites na integral:

Resposta

A integral é igual a .

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