Calcule as integrais usando a regra da substituição
integral1^2 e^1 / xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de e^1 / xx^2 de 1 a 2. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a regra da substituição (ou método de troca de variável). Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, o que vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral integral e^1 / xx^2 dx, percebemos que o expoente 1/x é uma boa candidata para substituição, pois sua derivada também aparece na expressão.
Vamos definir:
u = 1x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Assim:
du = ddx(1x) dx = -1x^2 dx
Perceba que a expressão -1x^2 dx está presente na nossa integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão para substituir na integral:
-1x^2 dx = du implies 1x^2 dx = -du
Agora, substituímos u e 1x^2 dx na integral original:
integral e^1 / xx^2 dx = integral e^u cdot (-du) = -integral e^u du

Passo 5

Integrando agora em termos de u:
-integral e^u du = -e^u + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Antes de substituir, precisamos mudar os limites de integração de x para u. Quando x = 1:
u = 11 = 1
E quando x = 2:
u = 12
Então, os novos limites são de u = 1 a u = 12.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites na integral:
- [ e^u ]1^12 = - ( e^12 - e^1 ) = e^1 - e^12

Resposta

A integral integral1^2 e^1 / xx^2 dx é igual a e - e^12.

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