Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar a integral . O assunto aqui envolve integrais impróprias, que são aquelas onde a função pode não ser bem comportada em algum ponto do intervalo. Vamos precisar entender onde a função pode dar problema e ver se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Se convergir, a gente calcula o valor dela.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função . Ela tem um denominador , que pode dar problema se , ou seja, quando . Então, o ponto é onde a função pode não ser definida, criando uma descontinuidade no intervalo de integração de 0 a 3.
Passo 3
Como está dentro do intervalo de 0 a 3, a gente precisa dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 3. Isso porque perto de , a função pode se comportar de forma diferente e precisamos analisar cada parte separadamente.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte da integral:
Integral de 0 a 1:
Aqui, se aproxima de 1 pela esquerda. Podemos fazer a substituição , então . A integral se transforma em:
A antiderivada de é , então:
Integral de 1 a 3:
Fazendo a mesma substituição , , a integral fica:
A antiderivada é novamente , então:
Como ambas as integrais individuais deram valores finitos, a integral original converge.