Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
integral0^3 d x(x-1)^2 / 3

Passo 1

Então, a gente tem que analisar a integral . O assunto aqui envolve integrais impróprias, que são aquelas onde a função pode não ser bem comportada em algum ponto do intervalo. Vamos precisar entender onde a função pode dar problema e ver se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Se convergir, a gente calcula o valor dela.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Ela tem um denominador , que pode dar problema se , ou seja, quando . Então, o ponto é onde a função pode não ser definida, criando uma descontinuidade no intervalo de integração de 0 a 3.

Passo 3

Como está dentro do intervalo de 0 a 3, a gente precisa dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 3. Isso porque perto de , a função pode se comportar de forma diferente e precisamos analisar cada parte separadamente.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte da integral:
  1. Integral de 0 a 1:
    integral0^1 dx(x-1)^2/3
    Aqui, integral-1^0 duu^2/3 se aproxima de 1 pela esquerda. Podemos fazer a substituição 3u^1/3 |-1^0 = 3(0^1/3) - 3((-1)^1/3) = 0 - (-3) = 3 , então integral1^3 dx(x-1)^2/3 . A integral se transforma em:
    integral0^2 duu^2/3
    A antiderivada de 3u^1/3 |0^2 = 3(2^1/3) - 3(0^1/3) = 3 cdot 2^1/3 - 0 = 3 cdot 2^1/3 é , então:
  2. Integral de 1 a 3:
    Fazendo a mesma substituição , , a integral fica:
    A antiderivada é novamente , então:
Como ambas as integrais individuais deram valores finitos, a integral original converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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