Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular (que resolve a equação completa).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, a gente monta a equação característica:
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. A gente pode fatorar isso ou usar a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, dá para fatorar:
Então, a gente tem uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante, a gente tenta uma solução particular também constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante.
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Então, a solução particular é
.
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Usando calculadora e a técnica de arredondamento para duas casas decimais ao fim de cada operação, mostre que as regras tradicionais não são mais válidas nestes exemplos:
(a)
(b)
(a)
(b)
Converta os números para a base 10 .
Converta os números para a base 2 .