Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral x^3raizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como usar identidades trigonométricas para simplificar integrais que envolvem expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão x = 2tantheta . Usamos a substituição trigonométrica:
dx = 2sec^2theta , dtheta
Com isso, temos:
raizx^2 + 4 = raiz4tan^2theta + 4 = raiz4(tan^2theta + 1) = 2sectheta
E substituindo na raiz:

Passo 3

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral x^3raizx^2+4 , dx = integral (2tantheta)^32sectheta cdot 2sec^2theta , dtheta
Simplificando os termos:
= integral 8tan^3theta2sectheta cdot 2sec^2theta , dtheta = integral 8tan^3theta cdot sectheta , dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
integral 8tan^3theta cdot sectheta , dtheta = 8integral tan^3theta sectheta , dtheta
Lembrando que = 8integral tantheta (sec^2theta - 1) sectheta , dtheta = 8integral tantheta sec^3theta - tantheta sectheta , dtheta , podemos reescrever como :

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
8( integral tantheta sec^3theta , dtheta - integral tantheta sectheta , dtheta )
Conhecemos as integrais:
integral tantheta sectheta , dtheta = sectheta + C
E para u = sectheta Rightarrow du = sectheta tantheta , dtheta , usamos substituição:
integral tantheta sec^3theta , dtheta = integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3theta3 + C
Então:

Passo 6

Voltando às integrais:
8( sec^3theta3 - sectheta ) + C = 83sec^3theta - 8sectheta + C
Agora, precisamos voltar para a variável sectheta = raizx^2 + 42 . Sabemos que:
sec^3theta = (raizx^2 + 42)^3 = (x^2 + 4)^3/28
E usando , podemos encontrar :

Passo 7

Substituindo de volta:
83 cdot (x^2 + 4)^3/28 - 8 cdot raizx^2 + 42 + C = (x^2 + 4)^3/23 - 4raizx^2 + 4 + C

Resposta

A integral (x^2 + 4)^3/23 - 4raizx^2 + 4 + C é igual a:

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