Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral raizx^2-9x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos uma raiz quadrada envolvendo menos um número, no caso, . Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender como fazer a substituição certa para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos x = 3 sec theta , o que se parece com a forma , onde . Para esse caso, usamos a substituição . Então, colocamos:

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 3 sec theta tan theta , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral raiz(3 sec theta)^2 - 9(3 sec theta)^3 cdot 3 sec theta tan theta , dtheta e raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9(sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta na integral original:
integral 3 tan theta27 sec^3 theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta = integral 9 tan^2 theta27 sec^2 theta , dtheta = 13 integral sin^2 theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Aqui usamos a identidade e .

Passo 5

Agora, precisamos integrar sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2 . Para isso, usamos a identidade de redução:
13 integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 16 integral (1 - cos(2theta)) , dtheta = 16 ( theta - sin(2theta)2 ) + C
Assim, a integral se torna:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sin(2theta) = 2 sin theta cos theta . Sabemos que cos theta = 3x, sin theta = raizx^2 - 9x , então sin(2theta) = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6 raizx^2 - 9x^2 e . Além disso, podemos usar o triângulo retângulo associado para expressar :
No triângulo, temos:
Portanto:

Resposta

Substituindo tudo de volta na expressão integrada, temos:
16 sec^-1(x3) - 16 cdot 3 raizx^2 - 9x^2 + C = 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C
Então, a integral 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C é igual a:

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