Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do estudo de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos escolher uma substituição trigonométrica que simplifique essa expressão complicada.

Passo 2

Observando o denominador , lembramos que para integrais que contêm , uma boa substituição é . No nosso caso, , então vamos deixar .

Passo 3

Com , precisamos encontrar em termos de . Derivando, temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a parte da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 6

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Assim, a integral se transforma em:

Passo 7

Integrando cada termo:
Portanto,

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é
  • O lado adjacente é 1
  • O lado oposto é
Dessa forma, temos:

Passo 9

Substituindo tudo de volta na expressão integrada:

Resposta

Então, a integral é:

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