Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do estudo de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos escolher uma substituição trigonométrica que simplifique essa expressão complicada.
Passo 2
Observando o denominador
, lembramos que para integrais que contêm
, uma boa substituição é
. No nosso caso,
, então vamos deixar
.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificando a parte da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Assim, a integral se transforma em:
Passo 7
Integrando cada termo:
Portanto,
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é
- O lado adjacente é 1
- O lado oposto é
Dessa forma, temos:
Passo 9
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Resposta
Então, a integral
é:
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