Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral 1x^3 raizx^2-1 d x

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do estudo de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos escolher uma substituição trigonométrica que simplifique essa expressão complicada.

Passo 2

Observando o denominador , lembramos que para integrais que contêm , uma boa substituição é . No nosso caso, , então vamos deixar .

Passo 3

Com dx = sec(theta) tan(theta) , dtheta , precisamos encontrar integral 1sec^3(theta) cdot raizsec^2(theta) - 1 cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta em termos de . Derivando, temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a parte da raiz:
raizsec^2(theta) - 1 = raiztan^2(theta) = tan(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral 1sec^3(theta) cdot tan(theta) cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 1sec^2(theta) , dtheta

Passo 5

Sabemos que integral cos^2(theta) , dtheta . Então, a integral fica:

Passo 6

Para integrar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos(2theta) , dtheta
Assim, a integral se transforma em:

Passo 7

Integrando cada termo:
12 integral 1 , dtheta = theta2
12 integral cos(2theta) , dtheta = 14 sin(2theta)
Portanto,
integral cos^2(theta) , dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = sec^-1(x) . Sabemos que sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) = 2 cdot raizx^2 - 1x cdot 1x = 2 raizx^2 - 1x^2 , então podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é
  • O lado adjacente é 1
  • O lado oposto é
Dessa forma, temos:

Passo 9

Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
theta2 + sin(2theta)4 + C = sec^-1(x)2 + raizx^2 -12 x^2 + C

Resposta

Então, a integral sec^-1(x)2 + raizx^2 -12 x^2 + C é:

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