Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com
, onde
. Para simplificar, usamos a substituição trigonométrica
. Então, vamos definir:
Isso nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Em seguida, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
A integral de
é conhecida:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembre-se que:
Passo 6
Substituindo
de volta:
Então, a solução da integral é:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Mostre as identidades trigonométricas:
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Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando.
.