Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: . Isso se parece com , onde . Para simplificar, usamos a substituição trigonométrica . Então, vamos definir:
Isso nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, substituímos e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

A integral de é conhecida:
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembre-se que:

Passo 6

Substituindo de volta:
Então, a solução da integral é:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Mostre as identidades trigonométricas:
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Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando. .