Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral xraizx^2-7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: x = raiz7 sectheta . Isso se parece com , onde . Para simplificar, usamos a substituição trigonométrica . Então, vamos definir:
Isso nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = raiz7 sectheta tantheta , dtheta :
integral raiz7 secthetaraiz7 sec^2theta - 7 cdot raiz7 sectheta tantheta , dtheta
Em seguida, substituímos e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz7 sec^2theta - 7 = raiz7 (sec^2theta - 1) = raiz7 tan^2theta = raiz7 tantheta
Substituindo de volta na integral:
integral raiz7 secthetaraiz7 tantheta cdot raiz7 sectheta tantheta , dtheta = integral sec^2theta , dtheta

Passo 5

A integral de integral sec^2theta , dtheta = tantheta + C é conhecida:
x = raiz7 sectheta implies sectheta = xraiz7 implies tantheta = raizsec^2theta - 1 = raiz(xraiz7)^2 - 1 = raizx^2 - 7raiz7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembre-se que:

Passo 6

Substituindo tantheta = raizx^2 - 7raiz7 de volta:
raizx^2 - 7raiz7 + C
Então, a solução da integral é:
raiz7(x^2 - 7)7 + C = raiz7x^2 - 497 + C
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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