Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integração é útil quando temos expressões que lembram identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como ela pode simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo secante, já que temos a forma . Vamos definir , onde . Isso porque , o que nos ajudará a simplificar a raiz.

Passo 3

Com , calculamos a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:

Passo 6

Lembramos que . Então, a integral fica:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então e . Além disso, .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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