Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integração é útil quando temos expressões que lembram identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como ela pode simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão
sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo secante, já que temos a forma
. Vamos definir
, onde
. Isso porque
, o que nos ajudará a simplificar a raiz.
Passo 3
Com
, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
Lembramos que
. Então, a integral fica:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então
e
. Além disso,
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão, temos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando.
.
Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
.