Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral raizx^2-4x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raizx^2-4x , dx usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integração é útil quando temos expressões que lembram identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como ela pode simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão raizx^2 - 4 sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo secante, já que temos a forma raizx^2 - a^2. Vamos definir x = 2sec(theta), onde a = 2. Isso porque sec^2(theta) - 1 = tan^2(theta), o que nos ajudará a simplificar a raiz.

Passo 3

Com x = 2sec(theta), calculamos a derivada de x em relação a theta para encontrar dx:
dx = 2sec(theta)tan(theta) , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral raiz(2sec(theta))^2 - 42sec(theta) cdot 2sec(theta)tan(theta) , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz4sec^2(theta) - 4 = raiz4(sec^2(theta) - 1) = raiz4tan^2(theta) = 2tan(theta)

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 2tan(theta)2sec(theta) cdot 2sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral 2tan^2(theta) , dtheta
Simplificando:
2integral tan^2(theta) , dtheta

Passo 6

Lembramos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1. Então, a integral fica:
2integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = 2( integral sec^2(theta) , dtheta - integral 1 , dtheta )
Sabemos que integral sec^2(theta) , dtheta = tan(theta) e integral 1 , dtheta = theta, então:
2(tan(theta) - theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 2sec(theta), então sec(theta) = x2 e theta = sec^-1(x2). Além disso, tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x2)^2 - 1 = raizx^2 - 42.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:
2(raizx^2 - 42 - sec^-1(x2)) + C = raizx^2 - 4 - 2sec^-1(x2) + C

Resposta

A integral é igual a raizx^2 - 4 - 2,sec^-1(x2) + C, onde C é a constante de integração.

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