Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher uma mudança de coordenadas que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região . Ela é limitada pelas retas:
(ou seja, ),
(ou seja, ),
,
.
Vamos desenhar essas retas para visualizar a região onde vamos integrar.
Passo 3
Desenhando as retas no plano :
é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus.
é paralela à primeira, mas deslocada para cima.
é uma reta que cruza os eixos em e .
é paralela à anterior, mas mais afastada.
A interseção dessas retas forma um retângulo inclinado no plano.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir:
Essa transformação ajuda a simplificar os limites de integração, já que as retas que delimitam se tornam retas paralelas aos eixos e .
Passo 5
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a medida .
Passo 6
Calculando o jacobiano :
Então, .
Passo 7
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de x - yx + y = uv e integral duplaD uv cdot 12 , du dv = 12 integral duplaD' uv , du dv :
Então, a integral dupla fica:
onde é a região na nova coordenada.
Passo 8
Vamos identificar os novos limites de integração em e :
→
→
→
→
Então, varia de 0 a 1 e de 1 a 3.
Passo 9
Agora, podemos escrever a integral:
12 integralv=1^3 integralu=0^1 uv , du dv
Vamos integrar primeiro em relação a .
Passo 10
Integrando em relação a integral0^1 uv du = 1v integral0^1 u , du = 1v [ u^22 ]0^1 = 1v ( 12 - 0 ) = 12v :
Passo 11
Agora, substituímos de volta na integral externa:
12 integral1^3 12v dv = 14 integral1^3 1v dv
Passo 12
Integrando integral 1v dv = ln|v| em relação a 14 [ ln v ]1^3 = 14 (ln 3 - ln 1) :