Calcule integral duplaD x-yx+y d A, onde D é a região limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher uma mudança de coordenadas que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . Ela é limitada pelas retas:
  • (ou seja, ),
  • (ou seja, ),
  • ,
  • .
Vamos desenhar essas retas para visualizar a região onde vamos integrar.

Passo 3

Desenhando as retas no plano :
  • é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus.
  • é paralela à primeira, mas deslocada para cima.
  • é uma reta que cruza os eixos em e .
  • é paralela à anterior, mas mais afastada.
A interseção dessas retas forma um retângulo inclinado no plano.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir:
u = x - y v = x + y
Essa transformação ajuda a simplificar os limites de integração, já que as retas que delimitam se tornam retas paralelas aos eixos e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar x = u + v2 y = v - u2 e em termos de e . Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a medida .

Passo 6

Calculando o jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 -12 & 12 = (12 times 12) - (12 times -12) = 14 + 14 = 12 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de x - yx + y = uv e integral duplaD uv cdot 12 , du dv = 12 integral duplaD' uv , du dv :
Então, a integral dupla fica:
onde é a região na nova coordenada.

Passo 8

Vamos identificar os novos limites de integração em e :
Então, varia de 0 a 1 e de 1 a 3.

Passo 9

Agora, podemos escrever a integral:
12 integralv=1^3 integralu=0^1 uv , du dv
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 10

Integrando em relação a integral0^1 uv du = 1v integral0^1 u , du = 1v [ u^22 ]0^1 = 1v ( 12 - 0 ) = 12v :

Passo 11

Agora, substituímos de volta na integral externa:
12 integral1^3 12v dv = 14 integral1^3 1v dv

Passo 12

Integrando integral 1v dv = ln|v| em relação a 14 [ ln v ]1^3 = 14 (ln 3 - ln 1) :
14 ln 3
Então,
Como , fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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