Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher uma mudança de coordenadas que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região . Ela é limitada pelas retas:
(ou seja, ),
(ou seja, ),
,
.
Vamos desenhar essas retas para visualizar a região onde vamos integrar.
Passo 3
Desenhando as retas no plano :
é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus.
é paralela à primeira, mas deslocada para cima.
é uma reta que cruza os eixos em e .
é paralela à anterior, mas mais afastada.
A interseção dessas retas forma um retângulo inclinado no plano.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir:
Essa transformação ajuda a simplificar os limites de integração, já que as retas que delimitam se tornam retas paralelas aos eixos e .
Passo 5
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a medida .
Passo 6
Calculando o jacobiano :
Então, .
Passo 7
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de e :
Então, a integral dupla fica:
onde é a região na nova coordenada.
Passo 8
Vamos identificar os novos limites de integração em e :