Calcule , onde é a região limitada pelas retas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher uma mudança de coordenadas que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . Ela é limitada pelas retas:
  • (ou seja, ),
  • (ou seja, ),
  • ,
  • .
Vamos desenhar essas retas para visualizar a região onde vamos integrar.

Passo 3

Desenhando as retas no plano :
  • é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus.
  • é paralela à primeira, mas deslocada para cima.
  • é uma reta que cruza os eixos em e .
  • é paralela à anterior, mas mais afastada.
A interseção dessas retas forma um retângulo inclinado no plano.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir:
Essa transformação ajuda a simplificar os limites de integração, já que as retas que delimitam se tornam retas paralelas aos eixos e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a medida .

Passo 6

Calculando o jacobiano :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de e :
Então, a integral dupla fica:
onde é a região na nova coordenada.

Passo 8

Vamos identificar os novos limites de integração em e :
Então, varia de 0 a 1 e de 1 a 3.

Passo 9

Agora, podemos escrever a integral:
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 10

Integrando em relação a :

Passo 11

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 12

Integrando em relação a :
Então,
Como , fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando. .
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Calcule a integral dupla onde é a região contida na circunferência .
Questão pt] Dada a inequação:
Determine o seu conjunto solução em notação de intervalos e propriedade.