Calcule:
integral0^pi cos (x) cos ^2(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa calcular é a integral definida de de 0 até . Isso está relacionado ao estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . Sabemos que cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2 pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso para , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^pi cos(x) cos^2(4x) , dx = integral0^pi cos(x) ( 1 + cos(8x)2 ) dx
Podemos fatorar o = 12 integral0^pi cos(x) , dx + 12 integral0^pi cos(x) cos(8x) , dx para facilitar:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^pi cos(x) , dx
A integral de sin(x) |0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 é , então:
Portanto, a primeira parte é zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^pi cos(x) cos(8x) , dx
Para resolver isso, usamos a identidade de produto para cossenos:
cos(A) cos(B) = cos(A+B) + cos(A-B)2
Aplicando isso:
cos(x) cos(8x) = cos(9x) + cos(7x)2
Então, a integral se torna:
12 integral0^pi cos(9x) + cos(7x) , dx = 12 ( integral0^pi cos(9x) , dx + integral0^pi cos(7x) , dx )

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral cos(nx) , dx = sin(nx)n + C
Aplicando isso:
integral0^pi cos(9x) , dx = sin(9x)9 |0^pi = sin(9pi)9 - sin(0)9 = 0 - 0 = 0
E
integral0^pi cos(7x) , dx = sin(7x)7 |0^pi = sin(7pi)7 - sin(0)7 = 0 - 0 = 0
Ambas as integrais resultam em zero.

Passo 7

Então, juntando tudo:
12 times 0 + 12 times 0 = 0 + 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados