Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de usando a técnica de substituição. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos substituição para simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas e saber como aplicar a substituição de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo. Olhando para , vamos escolher . Isso porque a derivada de é , o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Se , então:
Isso significa que:

Passo 4

Observando a nossa integral original:
Com a substituição que fizemos, e , a integral fica muito mais simples:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo por :

Resposta

A integral de é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo: ;
Calcule a integral usando integração por partes:
;
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
Use a Regra da Cadeia para achar ou .