Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
integral tg x sex^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de tan x cdot sec^2 x , dx usando a técnica de substituição. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos substituição para simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas e saber como aplicar a substituição de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo. Olhando para tan x cdot sec^2 x, vamos escolher u = tan x. Isso porque a derivada de tan x é sec^2 x, o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x. Se u = tan x, então:
dudx = sec^2 x
Isso significa que:
du = sec^2 x , dx

Passo 4

Observando a nossa integral original:
integral tan x cdot sec^2 x , dx
Com a substituição que fizemos, u = tan x e du = sec^2 x , dx, a integral fica muito mais simples:
integral u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u em relação a u:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u por tan x:
u^22 + C = tan^2 x2 + C

Resposta

A integral de tan x cdot sec^2 x , dx é tan^2 x2 + C.

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