Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar frações parciais para encontrar a solução da integral:
Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração, ou seja, o polinômio . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ( ):
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos preparar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar:
Onde e são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada do denominador:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 4

Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar e .
Primeiro, deixe :
Simplificando:
Agora, deixe :
Simplificando:
Então, e .

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:
Subtraindo as integrais:

Resposta

A integral resolvida é:

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Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
Calcule as integrais definidas abaixo: ;
Use a Regra da Cadeia para achar ou .
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d)