Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar frações parciais para encontrar a solução da integral:
Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e aplicar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração, ou seja, o polinômio
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos preparar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada do denominador:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 4
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar
e
.
Primeiro, deixe
:
Simplificando:
Agora, deixe
:
Simplificando:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:
Subtraindo as integrais:
Resposta
A integral resolvida é:
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Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
Calcule as integrais definidas abaixo:
;
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d)
(d)