Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
integral 5-x2 x^2+x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar frações parciais para encontrar a solução da integral:
integral 5 - x2x^2 + x - 1 , dx
Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração, ou seja, o polinômio 2x^2 + x - 1 = 0 . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Δ = 1^2 - 4 times 2 times (-1) = 1 + 8 = 9
Onde x = -1 pm raiz94 = -1 pm 34 , x = 24 = 12 e x = -44 = -1 e 2x^2 + x - 1 = 2(x - 12)(x + 1) . Calculando o discriminante ( ):
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos preparar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar:
5 - x2x^2 + x - 1 = A2x - 1 + Bx + 1
Onde 5 - x = A(x + 1) + B(2x - 1) e são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada do denominador:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 4

Vamos escolher valores de 5 - 12 = A(12 + 1) + B(2 times 12 - 1) que simplifiquem a equação para encontrar 92 = A times 32 + B times 0 Rightarrow A = 92 div 32 = 3 e 5 - (-1) = A(-1 + 1) + B(2 times (-1) - 1) .
Primeiro, deixe 6 = A times 0 + B times (-3) Rightarrow B = -2 :
Simplificando:
Agora, deixe :
Simplificando:
Então, e .

Passo 5

Agora que temos 5 - x2x^2 + x - 1 = 32x - 1 - 2x + 1 e integral 5 - x2x^2 + x - 1 , dx = integral 32x - 1 , dx - integral 2x + 1 , dx , podemos escrever a fração original como:
integral 32x - 1 , dx = 32 ln|2x - 1| + C1 integral 2x + 1 , dx = 2 ln|x + 1| + C2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
32 ln|2x - 1| - 2 ln|x + 1| + C
Integrando cada termo:
Subtraindo as integrais:

Resposta

A integral resolvida é:
integral 5 - x2x^2 + x - 1 , dx = 32 ln|2x - 1| - 2 ln|x + 1| + C

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