Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
-sqrt(1+x^2+y^2) x=ln(t) y=cos(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função que depende de e , e e dependem do tempo . Precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar identificando as funções envolvidas:
Aqui, é uma função de e , e e são funções de . Nosso objetivo é encontrar como muda em relação a .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , assim como as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de e em relação a :
Para :
Para :

Passo 6

Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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