Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função
que depende de
e
, e
e
dependem do tempo
. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Vamos começar identificando as funções envolvidas:
Aqui,
é uma função de
e
, e
e
são funções de
. Nosso objetivo é encontrar como
muda em relação a
.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, assim como as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d)
(d)
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.