Use a Regra da Cadeia para achar ou .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função que depende de e , e e dependem do tempo . Precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar identificando as funções envolvidas:
Aqui, é uma função de e , e e são funções de . Nosso objetivo é encontrar como muda em relação a .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , assim como as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de e em relação a :
Para :
Para :

Passo 6

Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d)
Use a Regra da Cadeia para achar ou .