Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre comportamento de funções no infinito e perto de pontos problemáticos, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função integranda
para diferentes valores de
.
Passo 3
Quando
se aproxima de 0, o termo
tende a
porque o logaritmo de um número próximo de zero é negativo e seu quadrado é positivo e grande. Então,
. Assim, a função fica aproximadamente
.
Passo 4
Agora, para
, a função
pode ser comparada com
, que sabemos que diverge. Porém, o termo
cresce mais rápido, o que sugere que a função pode ser integrável perto de zero. Vamos precisar verificar isso com mais detalhes.
Passo 5
Para
, o termo
cresce mais lentamente que
, então
. Assim, a função se comporta aproximadamente como
, que é integrável no infinito porque
converge.
Passo 6
Agora, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 ao infinito. Vamos verificar a convergência em cada intervalo separadamente.
Passo 7
Primeiro, analisamos
. Como discutido, próximo a 0, a função se comporta como
. Fazendo a substituição
, temos
, e a integral se transforma em
, que converge.
Passo 8
Em seguida, analisamos
. Como vimos, para
, a função se comporta como
, e sabemos que essa integral converge.
Passo 9
Como as duas partes da integral convergem, concluímos que a integral original
também converge.
Passo 10
Agora, para calcular o valor da integral, fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo na integral:
Passo 11
Essa integral é simétrica em relação a
e pode ser resolvida utilizando métodos de integração avançados, envolvendo funções especiais. O valor exato da integral é:
Resposta
A integral
converge, e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Calcule:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b)
por substituição trigonométrica
(b)
por substituição trigonométrica