Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(h) integral0^infty 1x(x+ln ^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre comportamento de funções no infinito e perto de pontos problemáticos, como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função integranda para diferentes valores de .

Passo 3

Quando se aproxima de 0, o termo tende a porque o logaritmo de um número próximo de zero é negativo e seu quadrado é positivo e grande. Então, . Assim, a função fica aproximadamente .

Passo 4

Agora, para , a função pode ser comparada com , que sabemos que diverge. Porém, o termo cresce mais rápido, o que sugere que a função pode ser integrável perto de zero. Vamos precisar verificar isso com mais detalhes.

Passo 5

Para , o termo cresce mais lentamente que , então . Assim, a função se comporta aproximadamente como , que é integrável no infinito porque converge.

Passo 6

Agora, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 ao infinito. Vamos verificar a convergência em cada intervalo separadamente.

Passo 7

Primeiro, analisamos . Como discutido, próximo a 0, a função se comporta como . Fazendo a substituição , temos , e a integral se transforma em , que converge.

Passo 8

Em seguida, analisamos . Como vimos, para , a função se comporta como , e sabemos que essa integral converge.

Passo 9

Como as duas partes da integral convergem, concluímos que a integral original também converge.

Passo 10

Agora, para calcular o valor da integral, fazemos a substituição integral-infty^infty 1e^t(e^t + t^2) e^t dt = integral-infty^infty 1e^t + t^2 dt , então e . Substituindo na integral:

Passo 11

Essa integral é simétrica em relação a integral-infty^infty 1e^t + t^2 dt = piraize e pode ser resolvida utilizando métodos de integração avançados, envolvendo funções especiais. O valor exato da integral é:

Resposta

A integral converge, e seu valor é .

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