Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral1^2(x+1) cdot ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de no intervalo de 1 a 2. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica do cálculo integral. Precisamos identificar duas partes na nossa função que vão se encaixar na fórmula dessa técnica.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que vamos escolher e de forma que possamos calcular e facilmente.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x e dv = (x + 1) , dx
Escolhemos porque sua derivada é mais simples, e porque conseguimos integrar facilmente essa expressão para encontrar .

Passo 4

Agora, vamos calcular du = 1x , dx e v = integral (x + 1) , dx = 12x^2 + x :

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral (x + 1) cdot ln x , dx = u cdot v - integral v , du
= ln x cdot ( 12x^2 + x ) - integral ( 12x^2 + x ) cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a segunda integral:
( 12x^2 + x ) cdot 1x = 12x + 1
Então, a expressão fica:
ln x cdot ( 12x^2 + x ) - integral ( 12x + 1 ) , dx

Passo 7

Calculando a integral restante:
integral ( 12x + 1 ) , dx = 14x^2 + x

Passo 8

Substituindo tudo de volta na expressão:
ln x cdot ( 12x^2 + x ) - ( 14x^2 + x )

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 1 a 2:
[ ln 2 cdot ( 12(2)^2 + 2 ) - ( 14(2)^2 + 2 ) ] - [ ln 1 cdot ( 12(1)^2 + 1 ) - ( 14(1)^2 + 1 ) ]
Simplificando:
[ ln 2 cdot (2 + 2) - (1 + 2) ] - [ 0 cdot (0.5 + 1) - ( 0.25 + 1 ) ]
= [ 4 ln 2 - 3 ] - [ 0 - 1.25 ]
= 4 ln 2 - 3 + 1.25 = 4 ln 2 - 1.75

Resposta

A integral vale .

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