Calcule as integrais utilizando integrais por partes:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de no intervalo de 1 a 2. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica do cálculo integral. Precisamos identificar duas partes na nossa função que vão se encaixar na fórmula dessa técnica.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
Isso significa que vamos escolher e de forma que possamos calcular e facilmente.

Passo 3

Vamos escolher:
Escolhemos porque sua derivada é mais simples, e porque conseguimos integrar facilmente essa expressão para encontrar .

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:

Passo 6

Simplificando a segunda integral:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Calculando a integral restante:

Passo 8

Substituindo tudo de volta na expressão:

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 1 a 2:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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