Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral-2^4 2 x cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o método de integração por partes. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa função serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher uma parte da nossa função para ser e a outra para ser .

Passo 3

Vamos escolher u = 2x Rightarrow du = 2 , dx porque, ao derivar, simplifica a expressão. Então, temos:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
E o restante será :
Aqui, integramos para encontrar .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral-2^4 2x cdot e^x , dx = [ u cdot v ]-2^4 - integral-2^4 v cdot du
Substituindo = [ 2x cdot e^x ]-2^4 - integral-2^4 e^x cdot 2 , dx , e :

Passo 5

Vamos calcular a primeira parte = 2(4) cdot e^4 - 2(-2) cdot e^-2 = 8e^4 + 4e^-2 :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral restante = 2 integral-2^4 e^x , dx = 2 [ e^x ]-2^4 = 2(e^4 - e^-2) :

Passo 7

Subtraímos a segunda parte da primeira:
8e^4 + 4e^-2 - 2(e^4 - e^-2) = 8e^4 + 4e^-2 - 2e^4 + 2e^-2 = 6e^4 + 6e^-2

Resposta

A integral é igual a .

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