Calcule as integrais utilizando frações parciais: integral x+1x(x-1)(x-2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos usar o método das frações parciais para isso.

Passo 2

O próximo passo é escrever a fração x+1x(x-1)(x-2) = Ax + Bx-1 + Cx-2 como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x + 1 = A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x-1) , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, precisamos determinar os valores de , e que satisfazem essa igualdade para todo valor de .

Passo 4

Vamos escolher valores de 0 + 1 = A(-1)(-2) + B cdot 0 cdot (-2) + C cdot 0 cdot (-1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12 que simplificam a equação:
  • Para 1 + 1 = A(0)(-1) + B cdot 1 cdot (-1) + C cdot 1 cdot 0 Rightarrow 2 = -B Rightarrow B = -2 :
2 + 1 = A(1)(0) + B cdot 2 cdot 0 + C cdot 2 cdot 1 Rightarrow 3 = 2C Rightarrow C = 32
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de x+1x(x-1)(x-2) = 12x + -2x-1 + 32x-2 , x+1x(x-1)(x-2) = 12x - 2x-1 + 32(x-2) e , substituímos de volta na decomposição original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x+1x(x-1)(x-2) dx = integral ( 12x - 2x-1 + 32(x-2) ) dx
Integrando termo a termo:
= 12 ln|x| - 2 ln|x-1| + 32 ln|x-2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
12 ln|x| - 2 ln|x-1| + 32 ln|x-2| + C

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