Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral x cdot sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica legal para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que, ao derivar e integrar , fique mais fácil resolver a nova integral que vai surgir.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sen x , dx Rightarrow v = -cos x
Aqui, derivamos para obter , e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sen x , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot dx
= -x cdot cos x + integral cos x , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral que sobrou:
integral cos x , dx = sen x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x cdot sen x , dx = -x cdot cos x + sen x + C

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