Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente nas integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é igual a e que a derivada de é . Isso é útil porque vamos fazer uma substituição que simplifica a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Temos:
integral sec^6 x , dx = integral sec^4 x cdot sec^2 x , dx = integral sec^4 x cdot du
Mas sabemos que sec^4 x = (tan^2 x + 1)^2 = u^4 + 2u^2 + 1 , então:

Passo 5

Substituindo isso na integral, temos:
integral sec^6 x , dx = integral (u^4 + 2u^2 + 1) , du
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55, integral 2u^2 , du = 2u^33, integral 1 , du = u

Passo 6

Então, juntando tudo, a integral fica:
u^55 + 2u^33 + u + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos tan^5 x5 + 2tan^3 x3 + tan x + C de volta na expressão:

Resposta

integral sec^6 x , dx = tan^5 x5 + 2tan^3 x3 + tan x + C

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