Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral cos (7 x) cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de . Essa questão envolve integrais trigonométricas, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o produto dos cossenos e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em soma de cossenos:
cos A cos B = 12 [ cos(A + B) + cos(A - B) ]

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde cos(7x) cos(5x) = 12 [ cos(7x + 5x) + cos(7x - 5x) ] = 12 [ cos(12x) + cos(2x) ] e :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos(7x) cos(5x) , dx = 12 integral [ cos(12x) + cos(2x) ] dx

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
12 integral cos(12x) , dx + 12 integral cos(2x) , dx

Passo 6

Sabemos que a integral de integral cos(12x) , dx = sin(12x)12 + C é integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C mais a constante de integração. Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
12 ( sin(12x)12 ) + 12 ( sin(2x)2 ) + C

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
sin(12x)24 + sin(2x)4 + C

Resposta

integral cos(7x) cos(5x) , dx = sin(12x)24 + sin(2x)4 + C

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