Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral-3^5(x+1) cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x + 1 e dv = e^x , dx e . Uma boa escolha é deixar ser a parte algébrica e a parte exponencial. Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(x + 1) , dx = 1 , dx para encontrar v = integral e^x , dx = e^x e integrar para achar :
Aqui, usamos a regra básica de derivação e integração para funções simples.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x + 1) e^x , dx = (x + 1)e^x - integral e^x cdot 1 , dx
Simplificando:
= (x + 1)e^x - e^x + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos para o próximo passo.

Passo 5

Vamos agora avaliar a integral de integral-3^5 (x + 1)e^x , dx = [(x + 1)e^x - e^x]-3^5 a = [(x)e^x]-3^5 = 5e^5 - (-3)e^-3 = 5e^5 + 3e^-3 :
Isso simplifica para:

Resposta

A integral é igual a .

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