Calcule as integrais utilizando integração por partes.
b) integral arctg(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções inversas trigonométricas. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que é .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão representar e . Vamos escolher:
  • (porque derivar essa função simplifica)
  • (o que é fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 11 + t^2 , dt e v = t :
  • Para , derivamos . A derivada de é , então:
  • Para , integramos . A integral de é , então:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes integral arctg(t) , dt = t cdot arctg(t) - integral t cdot 11 + t^2 , dt , substituímos os valores encontrados:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou: . Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples:
  • Seja , então , o que implica que .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral t1 + t^2 , dt = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C
Voltando para 12 ln(1 + t^2) + C :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:

Resposta

A integral de em relação a integral arctg(t) , dt = t cdot arctg(t) - 12 ln(1 + t^2) + C é:
onde é a constante de integração.

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