Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial (
) multiplicada por uma raiz quadrada (
). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir
. Isso nos ajuda porque a derivada de
em relação a
será uma parte da nossa integral original.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Podemos rearranjar isso para expressar
em termos de
:
Passo 4
Vamos voltar à nossa integral original e reescrevê-la em termos de
. Temos
. Observamos que
, então
. Substituindo isso na integral:
Usando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos distribuir
dentro do parêntese:
Podemos separar a integral:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Passo 9
Finalmente, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Calculando em
:
Sabendo que
e
,
:
Em
:
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 1:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)
a)
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Calcule
.
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
b)
b)
(2,0 pts) Responda corretamente.
(a) O que significa dizer que uma função é contínua em um número
?
(a) O que significa dizer que uma função