Calcule a integral
integral0^1 x^3 raiz9-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial ( ) multiplicada por uma raiz quadrada ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso nos ajuda porque a derivada de em relação a será uma parte da nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = -2x , dx em relação a x , dx = -du2 para encontrar :
Podemos rearranjar isso para expressar em termos de :

Passo 4

Vamos voltar à nossa integral original e reescrevê-la em termos de integral x^3 raiz9 - x^2 , dx = integral x cdot (9 - u) cdot raizu , dx . Temos = integral (9 - u) cdot raizu cdot (-du2) . Observamos que = -12 integral (9 - u) cdot u^1/2 , du , então . Substituindo isso na integral:
Usando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos distribuir = -12 integral 9u^1/2 - u^3/2 , du dentro do parêntese:
= -12 ( integral 9u^1/2 , du - integral u^3/2 , du )
Podemos separar a integral:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:
integral 9u^1/2 , du = 9 cdot u^3/232 = 9 cdot 23 u^3/2 = 6u^3/2
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
= -12 ( 6u^3/2 - 25u^5/2 )
Distribuindo o = -3u^3/2 + 15u^5/2 :

Passo 8

Agora, substituímos = -3(9 - x^2)^3/2 + 15(9 - x^2)^5/2 de volta na expressão:

Passo 9

Finalmente, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
[ -3(9 - x^2)^3/2 + 15(9 - x^2)^5/2 ]0^1
Calculando em -3(9 - 1)^3/2 + 15(9 - 1)^5/2 = -3(8)^3/2 + 15(8)^5/2 :
= -3 cdot 16raiz2 + 15 cdot 128raiz2 = -48raiz2 + 25.6raiz2 = -22.4raiz2
Sabendo que -3(9)^3/2 + 15(9)^5/2 = -3 cdot 27 + 15 cdot 243 = -81 + 48.6 = -32.4 e -22.4raiz2 - (-32.4) = -22.4raiz2 + 32.4 , :
Em :
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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