Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial ( ) multiplicada por uma raiz quadrada ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso nos ajuda porque a derivada de em relação a será uma parte da nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Podemos rearranjar isso para expressar em termos de :

Passo 4

Vamos voltar à nossa integral original e reescrevê-la em termos de . Temos . Observamos que , então . Substituindo isso na integral:
Usando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos distribuir dentro do parêntese:
Podemos separar a integral:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo o :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão:

Passo 9

Finalmente, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Calculando em :
Sabendo que e , :
Em :
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
b)
(2,0 pts) Responda corretamente.
(a) O que significa dizer que uma função é contínua em um número ?