Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de θ vezes o cosseno de 2θ, ou seja, . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Precisamos lembrar da fórmula de integração por partes e identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa escolha é deixar o fator que simplifica ao derivar como .

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, precisamos avaliar essa expressão de até :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que .
Calcule a integral
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
b)