Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a) integral0^pi / 2 theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de θ vezes o cosseno de 2θ, ou seja, . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Precisamos lembrar da fórmula de integração por partes e identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa escolha é deixar o fator que simplifica ao derivar como .

Passo 3

Vamos escolher:
u = theta e dv = cos(2theta) dtheta
Agora, vamos derivar du = dtheta e v = integral cos(2theta) dtheta = sin(2theta)2 para encontrar e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral theta cos(2theta) dtheta = theta cdot sin(2theta)2 - integral sin(2theta)2 dtheta
Simplificando:
= theta sin(2theta)2 - 12 integral sin(2theta) dtheta

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integral sin(2theta) dtheta = -cos(2theta)2 :
= theta sin(2theta)2 - 12 (-cos(2theta)2)
Substituindo de volta:
= theta sin(2theta)2 + cos(2theta)4

Passo 6

Agora, precisamos avaliar essa expressão de [ theta sin(2theta)2 + cos(2theta)4 ]0^pi/2 até pi2 cdot sin(pi)2 + cos(pi)4 = pi2 cdot 02 + -14 = -14 :
0 cdot sin(0)2 + cos(0)4 = 0 + 14 = 14
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Subtraindo os valores:
-14 - 14 = -24 = -12

Resposta

O valor da integral é .

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