Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver a integral definida de θ vezes o cosseno de 2θ, ou seja,
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Precisamos lembrar da fórmula de integração por partes e identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Uma boa escolha é deixar o fator que simplifica ao derivar como
.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar essa expressão de
até
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Calcule
.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
.
Calcule a integral
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
b)
b)