O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, ao fazer a substituição
, a diferencial
pode ser expressa como
. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo diferencial, especialmente sobre como fazer substituições em integrais.
Passo 2
Vamos começar usando a substituição dada:
. Nosso objetivo é expressar
em termos de
.
Passo 3
Primeiro, derivamos ambos os lados da equação
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Sabemos que
. Aplicando isso, temos:
Passo 5
Agora, queremos
em termos de
. Para isso, invertendo a relação acima:
Resposta
Assim, mostramos que
.
Exercícios relacionados
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
e
.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Calcule
.
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)
a)