O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = tg(x/2) converte qualquer função racional de sen x e cos(x) em uma função racional ordinária de t. 0,5 ponto) Mostre que dx = 2/(1 + t^2) dt.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, ao fazer a substituição , a diferencial pode ser expressa como . Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo diferencial, especialmente sobre como fazer substituições em integrais.

Passo 2

Vamos começar usando a substituição dada: . Nosso objetivo é expressar em termos de .

Passo 3

Primeiro, derivamos ambos os lados da equação em relação a para encontrar :

Passo 4

Sabemos que . Aplicando isso, temos:

Passo 5

Agora, queremos em termos de . Para isso, invertendo a relação acima:

Resposta

Assim, mostramos que .

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