O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, ao fazer a substituição , a diferencial pode ser expressa como . Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo diferencial, especialmente sobre como fazer substituições em integrais.

Passo 2

Vamos começar usando a substituição dada: . Nosso objetivo é expressar em termos de .

Passo 3

Primeiro, derivamos ambos os lados da equação em relação a para encontrar :

Passo 4

Sabemos que . Aplicando isso, temos:

Passo 5

Agora, queremos em termos de . Para isso, invertendo a relação acima:

Resposta

Assim, mostramos que .

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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que e .
pontos) Calcule .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)