O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t=tg x2 converte qualquer função racional de sin x e cos x em uma função racional ordinária de t. ( 2,0 ponto) Calcule integral0^pi / 2 sen 2 x2+cos x d x.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar uma técnica matemática conhecida como substituição trigonométrica, especificamente usando . Essa substituição ajuda a transformar funções que envolvem seno e cosseno em funções racionais de , facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar todas as funções trigonométricas em termos de sen x = 2t1 + t^2 e cos x = 1 - t^21 + t^2 . Sabemos que:
Além disso, a derivada de dx = 21 + t^2 dt em relação a é:

Passo 3

Vamos substituir e sen 2x = 2 sen x cos x = 2 (2t1 + t^2) (1 - t^21 + t^2) = 4t(1 - t^2)(1 + t^2)^2 na integral usando as expressões em 2 + cos x = 2 + 1 - t^21 + t^2 = 2(1 + t^2) + 1 - t^21 + t^2 = 3 + t^21 + t^2 . Sabemos que:
E o denominador fica:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
= integral0^1 4t(1 - t^2)(1 + t^2)^2 cdot 1 + t^23 + t^2 cdot 21 + t^2 dt
Os limites de integração mudaram porque quando , , e quando , .

Passo 6

Continuando a simplificação:
= integral0^1 8t(1 - t^2)(1 + t^2)^2 (3 + t^2) dt

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais a expressão. Observamos que = 8 integral0^1 t(1 - t^2)(1 + t^2)^2 (3 + t^2) dt permanece no denominador, então a integral fica:

Passo 8

Para resolver esta integral, podemos utilizar frações parciais ou técnicas de integração mais avançadas. No entanto, para simplificar, observamos que a integral pode ser resolvida de forma mais direta devido à simetria e aos limites de integração.

Passo 9

Calculando a integral, obtemos:
8 integral0^1 t(1 - t^2)(1 + t^2)^2 (3 + t^2) dt = 8 cdot ( 16 ln(3 + t^2) - 12(1 + t^2) ) gr|0^1

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
= 8 cdot [ ( 16 ln(4) - 14 ) - ( 16 ln(3) - 12 ) ]
= 8 cdot ( 16 (ln 4 - ln 3) + 14 )

Passo 11

Simplificando os logaritmos:
= 8 cdot ( 16 ln(43) + 14 )
= 86 ln(43) + 2
= 43 ln(43) + 2

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados