O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar uma técnica matemática conhecida como substituição trigonométrica, especificamente usando . Essa substituição ajuda a transformar funções que envolvem seno e cosseno em funções racionais de , facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar todas as funções trigonométricas em termos de . Sabemos que:
Além disso, a derivada de em relação a é:
Passo 3
Vamos substituir e na integral usando as expressões em . Sabemos que:
E o denominador fica:
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Os limites de integração mudaram porque quando , , e quando , .
Passo 6
Continuando a simplificação:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais a expressão. Observamos que permanece no denominador, então a integral fica:
Passo 8
Para resolver esta integral, podemos utilizar frações parciais ou técnicas de integração mais avançadas. No entanto, para simplificar, observamos que a integral pode ser resolvida de forma mais direta devido à simetria e aos limites de integração.