O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar uma técnica matemática conhecida como substituição trigonométrica, especificamente usando . Essa substituição ajuda a transformar funções que envolvem seno e cosseno em funções racionais de , facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar todas as funções trigonométricas em termos de . Sabemos que:
Além disso, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos substituir e na integral usando as expressões em . Sabemos que:
E o denominador fica:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Os limites de integração mudaram porque quando , , e quando , .

Passo 6

Continuando a simplificação:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais a expressão. Observamos que permanece no denominador, então a integral fica:

Passo 8

Para resolver esta integral, podemos utilizar frações parciais ou técnicas de integração mais avançadas. No entanto, para simplificar, observamos que a integral pode ser resolvida de forma mais direta devido à simetria e aos limites de integração.

Passo 9

Calculando a integral, obtemos:

Passo 10

Aplicando os limites de integração:

Passo 11

Simplificando os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a .

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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que e .
Calcule as integrais utilizando integração por partes.
a)
Calcule a integral