Calcule as integrais utilizando integração por partes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, como aqui, onde temos (um polinômio) e (uma função exponencial). Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para serem e . Uma boa estratégia é escolher como a parte que fica mais simples ao ser derivada. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver, que também requer integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes na integral . Definimos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que resolvemos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular o valor definido dessa integral entre 1 e 2:
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
Determine o(s) ponto(s) críticos e os pontos de máximo ou mínimo relativo(s) de
Determine o maior e o menor valor que a função assume, restrita ao intervalo .
Determine os intervalos onde é crescente e decrescente.