Calcule as integrais utilizando integração por partes: integral1^2 x^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, como aqui, onde temos (um polinômio) e (uma função exponencial). Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para serem u = x^2 e dv = e^x dx e . Uma boa estratégia é escolher como a parte que fica mais simples ao ser derivada. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = ddx(x^2) dx = 2x , dx e v = integral e^x dx = e^x :

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^x dx = u v - integral v , du = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver, que também requer integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes na integral u = 2x e dv = e^x dx . Definimos:
du = 2 , dx
Calculando v = integral e^x dx = e^x e integral 2x e^x dx = u v - integral v , du = 2x e^x - integral 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que resolvemos:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x = e^x(x^2 - 2x + 2)

Passo 7

Agora, precisamos calcular o valor definido dessa integral entre 1 e 2:
integral1^2 x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) |1^2 = e^2(2^2 - 2 cdot 2 + 2) - e^1(1^2 - 2 cdot 1 + 2)
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
2^2 - 4 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2
1^2 - 2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1
Então, substituindo de volta:
e^2 cdot 2 - e^1 cdot 1 = 2 e^2 - e

Resposta

A integral definida é igual a .

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