Determine os intervalos onde é crescente e decrescente.

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela. No caso, vamos derivar cada termo da função:

Passo 3

Calculando cada derivada individualmente:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então,

Passo 4

Para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos ver onde a derivada é positiva ou negativa. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde :

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos determinar os sinais da derivada nos intervalos determinados por esses pontos críticos: , e .
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para , vamos usar :
  • Para , vamos usar :
  • Para , vamos usar :

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e é decrescente no intervalo .

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